Question

高一函数。。已知函数f(X)=x³[1/(2^x-1)+1/2]

已知函数f(X)=x³[1/(2^x-1)+1/2]..1.求函数f(x)的定义域2.判断函数f（x）的奇偶性i证明3.求证f（x）＞0

Answer 1

(1)
函数f(x)=「1/(2^x-1)+1/2」x^3有意义，只需2^x-1≠0，从而x≠0
故函数f(x)定义域为x≠0；
(2)偶函数
因为 2^x-1≠0 所以 x≠0
且:f(-x)={1/[2^(-x)-1]+1/2}(-x)^3
=-[2^x/(1-2^x)+1/2]x^3
=-[-1+1/(1-2^x)+1/2]x^3
=-[-1/(2^x-1)-1/2]x^3
=f(x)
故由偶函数定义知f(x)为偶函数；
（3）
证明：
当x＞0时,x^3＞0, 「1/(2^x-1)+1/2」＞0,所以f(x)=「1/(2^x-1)+1/2」x^3＞0
当x＜0时,x^3＜0,1/(2^x-1)＞-1/2,所以「1/(2^x-1)+1/2」＜0,从而f(x)=「1/(2^x-1)+1/2」x^3＞0
综上所述,f(x)＞0 得证.

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