Question

可导函数的导函数未必连续，是不是与左右导数存在且相等的条件矛盾？

Answer 1

函数的导函数未必连续与函数左右导数存在且相等的条件不矛盾的。
函数的左右导数存在且相等是一个极限过程，和该点的导数值并无直接联系，意思就是说对于导函数f‘（x），他在x0点比如说间断，但是其左右极限均存在，也就是说左右极限存在但是不等于此点的函数值，于是根据原函数存在定理，此函数是可积分的，于是原函数是连续的，也是可导的，但是其导函数不连续，左右导数却存在且相等。

Answer 2

f(x)在Ⅰ
可导
:
在xо处（xо∈Ⅰ），恒lim(Δx→0+)
Δy/Δx
=
lim(Δx→0﹣)
Δy/Δx
即
f'+(xо)=f'-(xо)
不妨设在xо的导数为A。则f'+(xο)
=
f'-(xο)
=
A
f'(x)在Ⅰ间断：存在xо
①可以f'(xо)无定义
②也可以f'(xо)存在，但f'(xо)≠f'+(xο)=f'-(xο)=A
换个写法：
A
(x=xο)
f'(x)
=
{
f'(x)
(x≠xο,x∈Ⅰ)
LZ自己定义的那个函数就是个很好的例子：
函数f(x)：
f(x)=x^2sin1/x
（x≠0）
f(0)=0
（x=0）
这个函数在(-∞,+∞)可导.
f'(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x)
（x≠0）（x=0无定义，是相对于y=2xsin(1/x)-cos(1/x)这个函数）
f'(x)=lim（x→0）[f(x)-f(0)]/(x-0)
=
lim（x→0）xsin(1/x)=0.
（x=0）
（在0可导）