Question

已知f（x）是定义在（0，﹢∞）上的增函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1

已知f（x）是定义在（0，﹢∞）上的增函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1
解不等式f（x）-f（x-2）＞3

Answer 1

解.令x=y=2，则
f(4)=f(2)+f(2)=2
令x=4,y=2，则
f(8)=f(4)+f(2)=3
f(x)-f(x-2)>=3=f(8)
即f(x)>f(x-2)+f(8)=f(8x-16)
因f(x)在定义域(0,+∞)上是增函数
所以x>8x-16且x>0且8x-16>0
解得2<x<16/7
所以解集为(2,16/7)

Answer 2

f（xy）=f（x）+f（y），
令x=y=2
f(4)=2f(2)=2
令x=4，y=2
f(8)=f(4)+f(2)=3
f（x）-f（x-2）＞3变为
f（x）>f(8)+f（x-2）
f（x）>f(8x-16)
已知f（x）是定义在（0，﹢∞）上的增函数，
所以
x>0 x>0
x-2>0 x>2
x>8x+16 x<-16/7

不等式解集为空集

Answer 3

f(4)=f(2*2)=f(2)+f(2)=2;
f(8)=f(2*4)=f(2)+f(4)=3;
从而f(x)-f(x-2)>3等价f(x)-f(x-2)>f(8)
也就是f(x)>f(x-2)+f(8);也就是f(x)>f(8*(x-2))
因为f(x)是增函数x>8(x-2)
从而x<16/7
又f(x)定义在(0，﹢∞)，f(x)和f(x-2)有意义，必须x>2;
综上，x的解集为(2,16/7)

Answer 4

f(1)=0;f(2x)=f(x)+1; f(4)=f(2)+f(2)=2;f(8)=f(2)+f(4)=3;
f（x）递增，所以单调，所以f（8）=3唯一；
所以：f(x)>f(x-2)+f(8);
so: x>8x-16;
so : 16/7>x>2