Question

已知动直线kx-y+1=0和圆x²+y²=1相交于A,B两点,求弦AB的中点的轨迹方程

Answer 1

将y=kx+1代人x²+y²=1，得(k²+1)x²+2kx=0，由韦达定理得x1+x2=-2k/(k²+1)
将x=(y-1)/k代人x²+y²=1，得(k²+1)y²-2y+1-k²=0，同理得
y1+y2=2/(k²+1)
设AB的中点坐标为(x,y)，则x=(x1+x2)/2=-k/(k²+1)，y=（y1+y2)/2=1/(k²+1),∵k=0时不存在两个交点，∴y≠1
∴x²+y²==k²/(k²+1)²+1/(k²+1)²=1/(k²+1)=y。整理得所求轨迹为
x²+(y-1/2)²=1/4
(y≠1)。

Answer 2

设a(x1,y1),b(x2,y2),两点在圆上:
x1^2+y1^2=1
x2^2+y2^2=1
k=(y1-y2)/(x1-x2)
相减整理得:(x1+x2)+(y1+y2)k=0
设c为ab中点(x,y),由上得:
x+ky=0
kx-y+1=0
联立消去k,可解得其轨迹为:
x^2
+(y-1/2)^2=1/4

Answer 3

解答：
直线恒过M
(0,1),
且M在圆上，
不妨设M为A
设AB中点为N
则ON⊥AB,即ON⊥MN
设N（x,y）
(y≠1)
向量ON=(x,y)
向量MN=(x,y-1)
∴
x*x+y(y-1)=0
即
x²+y²-y=0
即
x²+(y-1/2)²=1/4
(y≠1)