Question

已知正三棱锥（底面是正多边形，顶点在底面的射影为底面中心）的侧面积为18√3cm2,高为3cm，它的体积为

答案是9根号3，我也不确定对错，作业本上是这么写的。百度里也有一模一样的问题附过程，可我看不懂，所求出的答案也不同，求高手解答，谢谢

Answer 1

侧面积为是三个相同的等腰三角形的面积和（每个的面积是6√3cm²）。等腰三角形的底就是正三棱锥底面等边三角形的边（设为a），另设等腰三角形的高为b；a中点与正三棱锥底面中心的距离为（√3）a/6；该距离与b及正三棱锥的高构成一个直角三角形：
b²=〔（√3）a/6〕²+3²
即：b²=(a²/12)+9 (1)
又:ab/2=6√3 (2)
联立（1）、（2）解得 a=6
正三棱锥底面面积=（√3）a²/4=9√3
正三棱锥体积=底面积×高÷3=9√3(cm³)

Answer 2

设底面正三角形边长为a，
则该正三角形的中心到边的距离r=(1/3)√[a²-(a/2)²]=√3a/6，
正三棱锥的一个侧面是等腰三角形，其底边上的高h'=√(h²+r²)=√[3²+(√3a/6)²]=√(9+a²/12)，
∵侧面积=3×(1/2)ah'=(3/2)a√(9+a²/12)=18√3，
化简得a^4+108a²-5184=0，即(a²+144)(a²-36)=0，
∴a²=36，a=6，
正三棱锥的体积=(1/3)×S×h=(1/3)×(1/2)×6²×sin60°×3=9√3(cm³)
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