Question

小小数学题（35）

（1）如图一，在△ABC，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P，求证：DP/BQ=PE/QC。
（2）在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF，分别交DE于M，N两点。
①如图二，若AB=AC=1，直接写出MN的长；
②如图十三，求证：MN²=DM×EN。

注：要求写出详细步骤，上图仅供参考，谢谢朋友们的回答！

Answer 1

⑴由DE∥BC可得：△APD∽△AQB，△APE∽△AQC
∴DP/BQ＝AP/AQ，PE/QC＝AP/AQ
∴DP/BQ＝PE/QC

⑵①显然BG＝DG＝DE＝FG＝EF＝CF
由⑴可得：DM/BG＝MN/FG＝NE/CF
∴DM＝MN＝NE＝1/3DE＝1/9BC＝√2/9
②由上面可得：DM/BG＝MN/FG，MN/FG＝NE/CF
∴DM/MN＝BG/FG，NE/MN＝CF/FG
∵∠BAC＝90°
∴∠B＋∠C＝90°
∵∠B＋∠BDG＝90°
∴∠C＝∠BDG
∴△BDG∽△EFC
∴BG/EF＝DG/CF
∴BG/FG＝FG/CF
∴DM/MN＝NE/MN
∴MN²=DM×EN

Answer 2

1、∵DE∥BC
∴∠ADP=∠B，∠APD=∠AQB
∴∠ADP∽△ABQ
∴DP∶BQ=AP∶AQ
同理△APE∽△AQC
∴PE∶QC=AP∶AQ
∴DP∶BQ＝PE∶QC
2、做AH⊥BC于H，交DE于O
∵DEFG是正方形
∴DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
∴DE/BC=AO/AH(边相似比=高相似比）
∵AB=AC=1,
∴BC=√2
∴DE/(√2)=(√2/2-DE)/(√2/2)
DE=√2/3
∴BG=FC=GF=DE=√2/3
∴由相似比得：MN=DM=NE=1/3DE=√2/9过A做DH⊥DE于H
∵正方形DEFG
∴DG⊥BC DE∥BC
∴三角形ADE是等腰直角三角形
∴DH=DE/2 AH=DE/2 =DG/2
∵DH⊥DE
∴AH∥DG
∴MH:DM=AH:DG=1/2
同理HN:NE=1/2
∴(DM+EN):(MH+HN)=2
∴(DM+EN):MN=2
∴(DM+EN+MN):MN=3
∴3MN=DE
∵等腰直角三角形ADE
∴DH=HE
∴MN=DM=EN
∴MN²＝DM·EN