Question

已知三角形的三边长分别为a,b,c,面积为s,求证:a^2+b^2+c^2≥4根号3s

Answer 1

三角形面积S=(1/2)bc*sinA,
根据余弦定理有：a^2=b^2+c^2-2bc*cosA
将所证不等式右侧移到左边，得：
F=a^2+b^2+c^2-4√3*S=b^2+c^2-2bc*cosA+b^2+c^2-4√3(bc*sinA/2)
=2(b^2+c^2)-2bc(√3sinA+cosA)=2(b^2+c^2)-4bc((√3/2)sinA+(1/2)cosA)
因为√3/2=cos(π/6),1/2=sin(π/6),所以有：
F=2(b^2+c^2)-4bc*sin(A+π/6)
因为(b-c)^2=b^2+c^2-2bc≥0,又
1≥sin(A+π/6)≥-1,
故b^2+c^2≥2bc≥2bc*sin(A+π/6),b^2+c^2-2bc*sin(A+π/6)≥0
即：2(b^2+c^2)-4bc*sin(A+π/6)≥0成立
所以
a^2+b^2+c^2-4√3*S≥0成立,不等式得证

Answer 2

这个不等式叫做外森匹克不等式
一个以人名命名的不等式

a^2+b^2+c^2-4√3s
=a^2+b^2+(a^2+b^2-2abcosc)-4√3*1/2absinc

=2(a^2+b^2)-2abcosc-2√3*absinc

=2(a^2+b^2)-4ab(
cosc*1/2+sinc*√3/2）

=2(a^2+b^2)-4absin(c+30度）

大于等于
2(a^2+b^2)-4ab=2（a-b)^2,这个结果显然大于等于0