Question

如图,设P,Q为△ABC内的两点,且AP向量=2/3AB向量+1/4AC向量,AQ向量=3/5AB向量+1/3AC向量

如图,设P,Q为△ABC内的两点,且AP向量=2/3AB向量+1/4AC向量,AQ向量=3/5AB向量+1/3AC向量，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为

Answer 1

分别延长 AP、AQ 交 BC 于 M、N ，并设 AM=xAP ，AN=yAQ ，

则 AM=xAP=2x/3*AB+x/4*AC 且 M、B、C 三点共线，因此 2x/3+x/4=1 ，解得 x=12/11 ，

同理由 AN=yAQ=3y/5*AB+y/3*AC 得 3y/5+y/3=1 ，解得 y=15/14 ，

所以 BM=AM-AB=8/11*AB+3/11*AC-AB= -3/11*AB+3/11*AC= 3/11*BC ，

同理 BN=AN-AB=9/14*AB+5/14*AC-AB= -5/11*AB+5/14*AC=5/14*BC ，

由此得 BM=42/55*BN ，

那么由 SABP：SABM=|AP|：|AM|=11：12 ，

SABM：SABN=|BM|：|BN|=42：55 得 SABP：SABN=(11/12)*(42/55)=7：10 ，

而 SABQ：SABN=|AQ|：|AN|=14：15 ，

所以 SABP：SABQ=(7/10)/(14/15)=3：4 。