Question

高中数学题，求帮忙啊

如图，F1F2是双曲线C：x^2/a^2-y^2/b^2=1(a＞0,b＞0)的左右焦点，过F1的直线l与C的左右两支分别交于AB两点，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为

图自己画的，凑合看吧，哈哈

Answer 1

由双曲线的定义：AF1-AF2=2a
该题中，AF2=AB
所以，AF1-AF2=AF1-AB=BF1=2a
同理：BF2-BF1=2a
则：BF2=BF1+2a=4a
所以，AF2=AB=BF2=4a
则：AF1=AB+BF1=6a，AF2=4a
在三角形F1AF2中，AF1=6a，AF2=4a，F1F2=2c，∠F1AF2=60°
由余弦定理：F1F2²=AF1²+AF2²-2AF1*AF2*cos∠F1AF2
即：4c²=36a²+16a²-24a²
得：c²=7a²
所以，e²=c²/a²=7
所以，离心率为√7

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