Question

怎么由行最简形得出向量组线性表示的表示式

书中例题，从最简形到得出方程（a1,a2,a3)x=b的通解是怎么得出的？

Answer 1

线性表示与线性方程组的解是同类问题的不同表现方式
x1a1+...+xnan = b 是非齐次线性方程组的向量形式
也就是求 b 表示为 a1,...,an 的线性组合系数x1,...,xn

非零行的首非零元所在列对应的未知量视作约束未知量
这里即 x1, x2
其余未知量是自由未知量
这里是 x3
矩阵的每一行对应一个方程, 将自由未知量移到等式右边即得同解方程组:
x1 = -3x3 + 2
x2 = 2x3 -1
令 x3 = 0 得方程组的特解 (2,-1,0)^T
不看最后的常数, 令x3=1得Ax=0的基础解系 (-3,2,1)^T
所以非齐次线性方程组的通解 = 特解 + 导出组的线性组合
即 (2,-1,0)^T + c (-3,2,1)

PS. 熟练之后, 同解方程组之后的过程即可略去, 直接由行最简形看出通解来
你比较一下特解与最后一列, 基础解系与第3列 之间的关系就明白了