Question

一道高数题 微分方程xy'-(1+x^2)y=0的通解？

Answer 1

1)
设u=e^y
y=lnu
dy/dx=(dy/du)×(du/dx)=(du/udx)
从而
xdu/udx+1=u
移项
xdu/udx=u-1
即
du/[u(u-1)]=dx/x
积分得
ln[1-(1/u)]=lnx+c1
1-(1/u)=x+c&哗担糕杆蕹访革诗宫涧#39;
x+c=-1/u
e^y=-1/(x+c)
y=ln[-1/(x+c)]
2)
特征方程为
λ²-1=0
特征根为
λ=±1
从而得到该方程的一组基础解组
e^x,
e^(-x)
设该方程有如下形式的特解
y*
=x(ax+b)e^(-x)
代入原方程得
-(4ax+2b)e^(-x)+2ae^(-x)=xe^(-x)
解之得
a=-1/4
b=-1/4
从而得到该方程的通解为
y=c1e^x+c2e^(-x)-[(x²+x)e^(-x)]/4