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数学分析考试！急！

数学分析试题，超级有偿！
可私信

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Answer 1

1、I=∫ lnx/(1+x^2)^(3/2) dx
=∫ lnx d[x/√(1+x^2)]
=lnx*x/√(1+x^2)-∫ 1/√(1+x^2) dx
=lnx*x/√(1+x^2)-ln|x+√(1+x^2)|+C，其中C是任意常数
2、I=∫(1/2,3/4) arcsin√x/√[x(1-x)] dx
=∫(1/2,3/4) 2arcsin√x d(arcsin√x)
=(arcsin√x)^2|(1/2,3/4)
=π^2/9-π^2/16
=(7/144)*π^2
3、lim(n->∞) ∫(0,1) [x^n+sin(nx)]/(1+x^2) dx
=lim(n->∞) ∫(0,1) (x^n)/(1+x^2) dx+lim(n->∞) ∫(0,1) sin(nx)/(1+x^2) dx
①因为0<(x^n)/(1+x^2)<x^n
所以0<∫(0,1) (x^n)/(1+x^2) dx<∫(0,1) x^n dx=[x^(n+1)]/(n+1)|(0,1)=1/(n+1)
因为lim(n->∞) 1/(n+1)=0
所以根据极限的夹逼性，lim(n->∞) ∫(0,1) (x^n)/(1+x^2) dx=0
②因为|∫(0,1) sin(nx)/(1+x^2) dx|
=|(-1/n)*∫(0,1) d[cos(nx)]/(1+x^2)|
=(1/n)*|cos(nx)/(1+x^2)|(0,1)+∫(0,1) cos(nx)*2x/(1+x^2)^2 dx|
=(1/n)*|(cosn)/2-1+∫(0,1) cos(nx)*2x/(1+x^2)^2 dx|
<=(1/n)*[|cosn|/2+1+∫(0,1) |cos(nx)|*|2x/(1+x^2)^2| dx]
<=(1/n)*[1/2+1+∫(0,1) 2x/(1+x^2)^2 dx]
=(1/n)*[3/2-1/(1+x^2)|(0,1)]
=(1/n)*(3/2-1/2+1)
=2/n
且lim(n->∞) 2/n=0
所以lim(n->∞) ∫(0,1) sin(nx)/(1+x^2) dx=0
综上所述，lim(n->∞) ∫(0,1) [x^n+sin(nx)]/(1+x^2) dx=0
4、lim(x->0) {∫(0,x^2) t[e^(t^2)-1] dt}/[x^6*sin(x^2)]

=lim(x->0) {∫(0,x^2) t[e^(t^2)-1] dt}/(x^8)
=lim(x->0) {2x*x^2*[e^(x^4)-1]}/(x^8)
=lim(x->0) (2x^4)/(x^5)
=lim(x->0) 2/x
极限不存在
5、令S(x)=∑(n=1->∞) (-1)^(n-1)*[x^(n+1)]/[(n+1)*2^n]
=∑(n=1->∞) [(-x)^(n+1)]/[(n+1)*2^n]
S'(x)=∑(n=1->∞) -[(-x)^n]/(2^n)
=∑(n=1->∞) -(-x/2)^n
=-(-x/2)/(1+x/2)
=x/(2+x)
因为S(0)=0
所以S(x)=∫(0,x) S'(t) dt
=∫(0,x) t/(2+t) dt
=[t-2ln|2+t|]|(0,x)
=x-ln[(2+x)^2]+ln4
原式=S(1)
=1-ln9+ln4