Question

如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，P是边BC上的一个动点，以点P为圆心作⊙P，与边AB相切于点D．

（1）求y关于x的函数关系式，并确定当x在什么范围内取值时，⊙P与AC所在的直线相离？
（2）当⊙P与△ABC的外接圆相切时，求x、y的值；
（3）是否存在这样的点P，使得⊙P与△ABC的内切圆相切？若存在，求出此时x、y的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

X、Y分别表示什么，请写清楚并追问。

追问

。。。因为在上面写不下了。
X是CP，Y是⊙P的半径。

追答

AB=√(AC^2+BC^2)=10，
PB=8-X，连接PD，
∵AB为切线，∴PD⊥AB，∵B为公共角，
∴RTΔBPD∽RTΔBAC，∴PD/AC=PB/AB，Y/6=(8-X)/10
∴Y=-3/5X+24/5，
当Y3，又P在边BC上，∴X≤8，
∴当3<X≤8时，直线AC与⊙P相离。
⑵RTΔABC的外接圆圆心是斜边AB的中点E，半径=1/2AB=5，
这时只有内切，∴PE=5-Y，
∵BD/PD=BC/AC=4/3，∴BD=4/3Y，
∴DE=5-4/3Y，
在RTΔPDE中，PE^2=DE^2+PD^2，得：(5-Y)^2=(5-4/3Y)^2+Y^2，
∴16Y^2-30Y=0，y≠0，∴Y=15/8，
∴-3/5X+24/5=15/8，X=39/8。
⑶内切圆半径：r=(8+6-10)/2=2，设圆心为F，则PF=Y-2，
D为⊙P与AB唯一公共点，⊙E又与⊙P内切，与AB也有一个公共点，
∴D为两圆切AB的公共点，圆心P在∠ACB的角平分线上，
∴P为直角顶点为C，这时X=0。Y=24/5。