Question

证明：等边三角形的内心与外心重合，并且外接圆半径是内切圆半径的2倍

Answer 1

等边三角形的高和内角平分线是同一条线
所以三高的交点和三个内角平分线的交点也是同一点
所以等边三角形的内心也是它的外心
三角形的外心和内心分别是其外接圆和内切圆的圆心
利用中位线定理很容易证明
正三角形的外心把高分成1:2两部分
即得其外接圆半径r是内切圆半径r的两倍

Answer 2

设等边三角形ABC
过点A作AD垂直于bc
垂点为D
过B点做BE垂直于AC
垂点为E
AD与BE相交于点F
连接CF，并延长CF交AB于G
∵AD和BE为高，而ABC是等边三角形
∴BD=AE=1/2AC
∠CBE=∠DAC=30°
∠BEA=∠BDA=90°
∴△BDF≌△AEF
∴BF=AF
∵BC=AC
CF=CF
∴△BFC≌△AFC
∴∠BCG＝∠ACG
所以CG⊥AB
∵FD，FE，FG分别垂直于AB，BC,AC
∴F就是△ABC的内心
BF=FC
BD=CD
DF=DF
∴△BDF≌△CDF
∴BF=CF
同理可得
CF=AF
F
为△ABC的外心
且DF为内接圆半径，BF为外接圆半径
∵AD⊥BC
所以三角形BDF为直角三角形
又∠FBD=1/2∠ABC=30°
∴FD=1/2BF
得证