Question

P(A)=P(B)=P(C)=1/3 P(A交B)=P(B交C)=P(A交C)=1/9 P(A交B交C)=1/27 证 P(A并B并C)=1-(1-1/3)^3

Answer 1

P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B)-P(B∩C)-P(A∩C)-P(A∩B∩C)+3P(A∩B∩C)

=3P(A)-3P(A∩B)-2P(A∩B∩C)

=1-3×1/9+2×1/27

=1-1/3+2/27

=1-(1/3-2/27)

=1-(9/27-1/27)

=1-(8/27)

=1-(2/3)^3

=1-(1-1/3)^3

追问

为什加最后加的是3P(A∩B∩C)

追答

看图，不难看出，三个圈相交且不重复的面积【P(A∪B∪C)】，那么它的面积等于三个圈的面积之和【P(A)+P(B)+P(C)】-重复的三个圈两两相交的面积之和【P(A∩B)+P(B∩C)+P(A∩C)】-三个圈相交的面积之和【P(A∩B∩C)】+三个圈两两相交而重复的三个圈相交的面积之和【P(A∩B)、P(B∩C)、P(A∩C)，都包含P(A∩B∩C)，即一共包含3个P(A∩B∩C)，又因为前面多减了，所以后面再加回去】。所以，最后加的是3P(A∩B∩C)，是因为前面多减了，
P(A∩B∩C)包含于P(A∩B)，也包含于P(B∩C)，还包含于P(A∩C)。