Question

请教一个初中几何题

已知正方形ABCD，P是其内部一点，且角PAD=角PDA,证明三角形PBC是正三角形。非常非常感谢！！
补充：条件是角PAD=角PDA=15度

Answer 1

用同一法
分别作角P'BC=角P'CB=60度,P'为BP'与CP'的交点
△P'BC等边三角形
角P'BA=30度
AB=BC=BP'
△P'BA为等腰三角形
角P'AB=75度
角P'AD=15度
同理角P'DA=15度
而在A,D处作15度角的边的交点只有一个
所以P'与P重合
所以，原命题成立

Answer 2

证明：过点D作DF垂直AP与AP的延长线相交于点F，过点B作BE垂直AP于E
所以角DFA=90度
角BEA=角BEP=90度
因为四边形ABCD是正方形
所以角BAD=角ABC=90度
AB=BC=AD
因为角PAD=角PDA=15度
所以PA=PD
角PAD+角PDA=角FPD=30度
所以DF=1/2PD
所以DF=1/2PA
角PAD+角ADF+角DFA=180度
所以角ADF=75度
角BAE=角BAD-角PAD=75度
所以角ABE=90-角BAE=15度
所以角AEB=角DFA=90度
角BAE=角ADF=75度
AB=AD(已证）
所以三角形BAE和三角形ADF全等（AAS)
所以AE=DF
因为AE+EP=AP
所以AE=EP
因为BE=BE
所以三角形AEB和三角形PEB全等（SAS)
所以AB=BP
所以BC=BP
所以三角形PBC是等腰三角形
角ABE=角PBE=15度
因为角BAE+角PBE+角CBP=90度
所以角CBP=60度
所以三角形PBC是正三角形

Answer 3

设正方形边长为a，AD中点为E，BC中点为F；
则PE=a/2 x tg15 =[1+√(3)/2]a
PF=a-PE=√(3)/2 a
在直角三角形PBF中，BF=a/2，PF/BF=√(3)，所以角PBF=60度。同理可证PCB=60度。
完毕。
对于初中数学来说难点在于 tg15度。

Answer 4

E为AD中点，F为BC中点，设正方形边长a
由已知，P为EF上一点，△PAE中角PAE=15度，角AEP=90度
将△PAE沿AP对折得到△PAE1，延长PE1交AB与O，
则AE1=AE=1/2a，角EAE1=30°则角E1AO=60°，角APE1=90°，角AOP=30°
△AE1O中，AO=2AE1=a,，则O与B重合，角ABP=30°，则角PBC=60°，又PB=PC,所以△PBC为正三角形

Answer 5

过P作AB的平行线，交AD，BC于E，F。tan15`等于2-根3，设边为X，即可证明PF=根3/2X，即可证明角PBF=60°，证完

Answer 6

根据目测
上述条件只能证明△PAD和△PBC是等腰三角形

追问

就是证正三角形啊