Question

高等数学求极值

Answer 1

这是一个条件极值问题，需要用到拉格朗日乘数法，大学数学分析里隐函数的一部分，我们刚学完。
过程（套路)如下：
构造函数：L(x,y,z,a)=x-2y+2z+a(x^2+y^2+z^2-1)
然后L依次对x,y,z,a求偏导，令各偏导等于零
，
即
Lx=1+2ax=0，Ly=-2+2ay=0，Lz=2+2az=0，La=x^2+y^2+z^2-1=0
注：Lx，Ly...为L对x，y的求偏导。
解得
|a|=3/2,
可得当a=3/2是，
u最小=
-
3，
当a=
-
3/2时，得u最大=3.

Answer 2

利用等式的几何意义，可以设一个半径为1的球，问题转化为球面上的点M（x,y,z)满足与平面u=x-2y+2z有公共点时的两种相切情形。
利用平面的法向量长为1，得法向量为（1，-2，-1）和（-1，2，1），再除以模长6的算术平方根，可计算出单位法向量，若以原点为起点可计算此时的终点坐标，也即平面与球面的切点坐标，
即可代入等式u=x-2y+2z计算。
得极小值为6的算术平方根的一半是相反数，极大值为6的算术平方根的一半。