Question

利用定积分定义计算∫01xdx，注意要求用定义来算

Answer 1

对区间
[a,b]
进行
n
等分，则你将得到n+1
个
x
i，
i是下标，i=
0,1,2,3,4,..........,n+1
a=
x
0
<
x
1
<
x
2
<
x
3
<
........<
x
n+1
=b
被积函数f(x)=
x
所以
f(x
i)=
x
i
对于
n+1
个
x
i，你就得到
n
个子区间，这些子区间为
[x
i
,x
i+1],
i=
0,1,2,3,4,..........,n
对于任意子区间
[x
i
,x
i+1],
被积函数在该区间上都是单调递增的，所以在该区间上
det
mi=
(det
x)
(f(x
i)=
x
i)
<=
(det
x)
(f(ξ
i)
<=
(det
x)
(f(x
i+1)
=x
i+1)=
det
mi
det就是书上那个倒三角形，x
i
<
ξ
i
<
x
i+1
。
所以在整个区间上
∑det
mi=
(det
x)
(f(x
i)=x
i)
<=
∑(det
x)
(f(ξ
i)
<=
∑(det
x)
(f(x
i+1)=x
i+1)
=
∑det
mi
∑求和号都是i=0一直求到n
∑det
mi是原式的达布小和,∑det
mi
是原式的达布大和。
det
x
=
（b-a）/n
x
i
=
a
+（b-a）i/n
lim
(n趋向无穷大)
∑det
mi
=
lim
[（b-a）/n
]
*
[
n
a
+
（b-a）n^2
/
2n
]
=
ab
-a^2+
(b-a)^2
/2
=
(b^2-a^2)
/2
lim
(n趋向无穷大)
∑det
mi
=
lim
[（b-a）/n
]
*
[
n
a
+
（b-a）n(n+1)/
2n
]
=
ab
-a^2+
(b-a)^2
/2
=
(b^2-a^2)
/2
lim∑det
mi=
(det
x)
(f(x
i)=x
i)
<=
lim∑(det
x)
(f(ξ
i)
<=
lim∑(det
x)
(f(x
i+1)=x
i+1)
=
∑det
mi
lim∑(det
x)
(f(ξ
i)
的达布小和与达布大和的极限都存在，且相等，所以由夹逼定理可知：
lim∑(det
x)
(f(ξ
i)
=
(b^2-a^2)
/2
由定义可知lim∑(det
x)
(f(ξ
i)
就是所要求的：∫xdx
上限b下限a
所以
∫xdx
上限b下限a
=
(b^2-a^2)
/2
用定义做这种题目真是要了卿命了。

Answer 2

定义计算定积分，就是将定积分化成极限的形式

过程如下图：

居然又是你的问题，看到了要采纳啊！o(∩_∩)o