Question

已知函数f（x）=1/3×^3-ax^2+b在x=-2处有极值.

（1）求函数f（x）的单调区间（2）若函数f（x）在【-3,3】上有且仅有一个零点，求b的取值范围

Answer 1

（1)f ‘（x）=ײ-2ax
∵函数在x＝－2处有极值， ∴ f ’（2)＝0
∴（－2)²-2a（－2)＝0
解得 a＝－1
∴ 解析式化为 f（x）=1/3×^3＋x^2+b
令 f ‘（x）=ײ＋2x=x(x+2)＝0 得 x=0 或x＝－2
当x<-2时 f‘（x）>0 ∴在（－∞，－2)上单调递增
当－2<x<0 时 f ’（x）＜0 ∴在 （－2, 0)上单调递减
当 x＞0时 f‘（x）＞0, ∴在 （0,＋∞）上单调递增
（2)因为函数在｛－3,3｝上有零点，所以f(-3)*f(3)<0
即〔1/3（－3)³＋（－3)²+b〕×〔1/3×3³＋3²+b〕＜0
解得 －18<b<0 即为所求

Answer 2

1)f ‘（x）=ײ-2ax
∵函数在x＝－2处有极值， ∴ f ’（2)＝0
∴（－2)²-2a（－2)＝0
解得 a＝－1
∴ 解析式化为 f（x）=1/3×^3＋x^2+b
令 f ‘（x）=ײ＋2x=x(x+2)＝0 得 x=0 或x＝－2
当x<-2时 f‘（x）>0 ∴在（－∞，－2)上单调递增
当－2<x<0 时 f ’（x）＜0 ∴在 （－2, 0)上单调递减
当 x＞0时 f‘（x）＞0, ∴在 （0,＋∞）上单调递增
（2)因为函数在｛－3,3｝上有零点，所以f(-3)*f(3)<0
即〔1/3（－3)³＋（－3)²+b〕×〔1/3×3³＋3²+b〕＜0
解得 －18<b<0 即为所求