Question

((1+1/n)^(n^2))/e^n n趋向∞

Answer 1

你是问分子为什么不能用(1+1/n)^n
→
e变为e^n?
或者说(1+1/n)^(n^2)/e^n
=
((1+1/n)^n/e)^n的极限为什么不是1^n
=
1.
原因是((1+1/n)^n/e)^n的底数趋于1,
但是指数趋于无穷,
极限运算法则不能直接应用于可变的指数.
一个底数趋于1,
指数趋于无穷的幂是未定型.
未定型的极限要具体算才知道,
比如(1+1/n)^n
→
e,
但是(1+2/n)^n
→
e^2.
用Taylor展开:
x
→
0时,
ln(1+x)
=
x-x^2/2+o(x^2).
于是n
→
∞时,
ln(1+1/n)
=
1/n-1/(2n^2)+o(1/n^2),
故n^2·ln(1+1/n)-n
=
-1/2+o(1),
即n^2·ln(1+1/n)-n
→
-1/2.
得(1+1/n)^(n^2)/e^n
=
e^(n^2·ln(1+1/n)-n)
→
e^(-1/2)
=
1/√e.