Question

已知函数f(x)满足f(loga x)=(a/a^2-1)(x-x^-1),其中a＞0，且a≠1. （1)f(x)的表达式，并判断f(x)奇偶性

2,求f(x)的单调性。

Answer 1

设loga x=K，
x=a^k
f(loga x)=(a/a^2-1)(x-x^-1),
f(k)=(a/a^2-1)(a^k-a^-k),
f(x)=(a/a^2-1)(a^x-a^-x)
f(-x)=(a/a^2-1)(a^-x-a^x)
f(-x)=-(a/a^2-1)(a^x-a^-x)
f(x)+f(-x)=0
所以，为奇函数
设X2>X1,
f(x2)-f(x1)=(a/a^2-1)[(a^x2-a^-x2)-(a^x1-a^-x1)]
f(x2)-f(x1)=(a/a^2-1)[(a^x2-a^x1)+(a^-x1-a^-x2)]
f(x2)-f(x1)=(a/a^2-1)[(a^x2-a^x1)+(1/a^x1-1/a^x2)]
f(x2)-f(x1)=(a/a^2-1)[(a^x2-a^x1)+(a^x2-a^x1)/(a^x1*a^x2)]
a＞0，且a≠1，
当a＞1时，a^x函数为增函数, a^x>0
a/a^2-1>0,
a^x2-a^x1>0,
f(x2)-f(x1)=(a/a^2-1)[(a^x2-a^x1)+(a^x2-a^x1)/(a^x1*a^x2)]>0
此时，函数为增函数
当0<a<1时，a^x函数为减函数, a^x>0
a/a^2-1<0,
a^x2-a^x1<0
f(x2)-f(x1)=(a/a^2-1)[(a^x2-a^x1)+(a^x2-a^x1)/(a^x1*a^x2)]>0
此时，函数为增函数
所以，f(x)的单调性为单调递增