已知0<x<1,求证{根号(x^2+1)+根号【(1-x)^2+1】}>=根号5
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可以将上述不等式利用图解法求其最小值。
即。建立函数Y1=x^2+1
y2=(1-x)^2+1
由图可以看出,上面两个函数交点为:P(1/2,5/4)关于Y=5/4对称。
所以:两函数的和的最小值取在X=1/2处。所以:上述不等式>=X=1/2时,即大于等于根号5
即。建立函数Y1=x^2+1
y2=(1-x)^2+1
由图可以看出,上面两个函数交点为:P(1/2,5/4)关于Y=5/4对称。
所以:两函数的和的最小值取在X=1/2处。所以:上述不等式>=X=1/2时,即大于等于根号5
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追问
不是x^2+1,(1-x)^2+1之和,使它们的平方根之和
追答
知道不是,上述所说的两个函数之和只是进行分析,开方之和最小的时候也是两个函数直接求和最小的时候。所以:后面代入求和是带了根号的。
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因√(x^2+1)+√[(1-x)^2+1]=√[(x-0)^2+(0-1)^2]+√[(x-1)^2+(0-1)^2]
令P(x,0),A(0,1),B(1,1)
则|PA|+|PB|=√[(x-0)^2+(0-1)^2]+√[(x-1)^2+(0-1)^2]
令A关于x轴的对称点A'(0,-1)
则(|PA|+|PB|)min=|A'B|=√[(0-1)^2+(-1-1)^2]=√5
即√[(x-0)^2+(0-1)^2]+√[(x-1)^2+(0-1)^2]≥√5
即√(x^2+1)+√[(1-x)^2+1]≥√5
令P(x,0),A(0,1),B(1,1)
则|PA|+|PB|=√[(x-0)^2+(0-1)^2]+√[(x-1)^2+(0-1)^2]
令A关于x轴的对称点A'(0,-1)
则(|PA|+|PB|)min=|A'B|=√[(0-1)^2+(-1-1)^2]=√5
即√[(x-0)^2+(0-1)^2]+√[(x-1)^2+(0-1)^2]≥√5
即√(x^2+1)+√[(1-x)^2+1]≥√5
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