Question

已知函数f（x）=x（x-a）（x-b），其中0＜a＜b．（1）设f（x）在x=...

已知函数f（x）=x（x-a）（x-b），其中0＜a＜b． （1）设f（x）在x=s和x=t处取得极值，其中s＜t，求证：0＜s＜a＜t＜b； （2）设A（s，f（s）），B（t，f（t）），求证：线段AB的中点C在曲线y=f（x）上； （3）若a+b＜22，求证：过原点且与曲线y=f（x）相切的两条直线不可能垂直．

Answer 1

解：（1）f（x）=x3-（a+b）x2+abx，∴f'（x）=3x2-2（a+b）x+ab=0的两根为s，t，
令f'（x）=g（x），∵0＜a＜b，∴g（0）=ab＞0，g（a）=a（a-b）＜0，g（b）=b（b-a）＞0，
故有0＜s＜a＜t＜b．
（2）设AB中点C（x0，y0），则x0=s+t2，y0=f(s)+f(t)2，
故有s+t=2(a+b)3，st=ab3，∴x0=a+b3，f(s)+f(t)=(s3+t3)-(a+b)(s2+t2)+ab(s+t)=-427(a+b)3+23ab(a+b)．
∴y0=-227(a+b)3+13ab(a+b)．
代入验算可知C在曲线y=f（x）上．
（3）过曲线上的点（x1，y1）的切线的斜率是31x2-2（a+b）x1+ab，
当x1=0时，切线的斜率k1=ab；
当x1≠0时，3x12-2(a+b)x1+ab=y1x1=(x1-a)(x1-b)，∴x1=a+b2，
∴切线斜率k2=-14(a+b)2+ab．
∵0＜a+b＜22，∴14(a+b)2∈(0，2)，∴k2＞（ab-2）
∴k1k2=abk2＞ab（ab-2）=（ab-1）2-1≥-1
∴k1k2≠-1，故过原点且与曲线相切的两条直线不可能垂直．