Question

一道高中数学题，要有详细的过程

已知函数F（x）=x2ln（ax）（a〉0）
（1）若F'（x）≤x2对任意的x〉0恒成立，求实数a的取值范围；
（2）当a=1时，设函数G（x）=F（x）／x，若x1，x2∈（1／e，1），x1+x2〈1，求证x1x2〈（x1+x2）的4次幂

Answer 1

Answer 2

分析：（1）先求出导数：f'（x）=2xln（ax）+x欲使得f'（x）=2xln（ax）+x≤x2，即2lnax+1≤x在x＞0上恒成立，设u（x）=2lnax+1-x再利用导数研究此函数的最大值，即可求得实数a的取值范围；
（2）当a=1时，g(x)=f(x)x=xlnx，利用导数得到g（x）在(1e，+∞)上g（x）是增函数，(0，1e)上是减函数从而得出lnx1＜x1+x2x1ln(x1+x2)，同理lnx2＜x1+x2x2ln(x1+x2)两式相加化简即可证得结论．
解答：解：（1）f'（x）=2xln（ax）+x（1分）f'（x）=2xln（ax）+x≤x2，即2lnax+1≤x在x＞0上恒成立
设u（x）=2lnax+1-xu′(x)=2x-1=0，x=2，x＞2时，单调减，
x＜2单调增，所以x=2时，u（x）有最大值u（2）（3分）
u（2）≤0，2ln2a+1≤2，所以0＜a≤e2（5分）
（2）当a=1时，g(x)=f(x)x=xlnx，g(x)=1+lnx=0，x=1e，
所以在(1e，+∞)上g（x）是增函数，(0，1e)上是减函数（6分）
因为1e＜x1＜x1+x2＜1，所以g（x1+x2）=（x1+x2）ln（x1+x2）＞g（x1）=x1lnx1
即lnx1＜x1+x2x1ln(x1+x2)
同理lnx2＜x1+x2x2ln(x1+x2)（8分）
所以lnx1+lnx2＜(x1+x2x2+x1+x2x1)ln(x1+x2)=(2+x1x2+x2x1)ln(x1+x2)
又因为2+x1x2+x2x1≥4，当且仅当“x1=x2”时，取等号（10分）
又x1，x2∈(1e，1)，x1+x2＜1，ln（x1+x2）＜0（11分）
所以(2+x1x2+x2x1)ln(x1+x2)≤4ln(x1+x2)
所以lnx1+lnx2＜4ln（x1+x2）
所以：x1x2＜（x1+x2）4（12分）