Question

设F1,F2分别是椭圆E:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)的左，右焦点，过F1斜率为1的直线l与E相交于A,

设F1,F2分别是椭圆E:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)的左，右焦点，过F1斜率为1的直线l与E相交于A,B两点，且绝对值AF2,绝对值AB,绝对值BF2成等差数列。求E的离心率

Answer 1

由椭圆定义可知，AF2+BF2+AB=4a。 2AB=AF2+BF2
AB=4/3a
l:y=x+c. c^2=a^2-b^2
设A(x1,y1). B(x2,y2). 且AB满足y=x+c. x^2/a^2+y^2/b^2=1
化简(a^2+b^2)x^2+2a^2cx+a^2(c^2-b^2)=0
x1+x2=-2a^2c/(a^2+b^2). x1x2=a^2(c^2-b^2)/(a^2+b^2)
因为支线斜率为1，所以AB=根号{2[（x1+x2)^2-4x1x2]}
4/3a=4ab^2/(a^2+b^2). a^2=2b^2
e=根号(2)/2