Question

已知f(x)是定义域为R的奇函数，g(x)是定义域为R的偶函数。若F(x)=f（x）+g（x），

G(x)=f(x)×g(x)，试判断F(x),G(x)的奇偶性 带过程

Answer 1

f(x)是奇函数，所以有：f(-x)=-f(x)
g(x)是偶函数，所以有：g(-x)=g(x)

F(x)=f(x)+g(x) 可得：
F(-x)=f(-x)+g(-x)
=-f(x)+g(x)
因：F(x)≠F(-x) 且F(x)≠-F(-x)
所以F(x)是非奇非偶函数！

G(x)=f(x)g(x) 可得：
G(-x)=f(-x)g(-x)
=-f(x)g(x)
因：G(-x)=-G(x)
所以可得G(x)是奇函数！

Answer 2

f(x)是定义域为R的奇函数，g(x)是定义域为R的偶函数
f(-x)=-f(x)，g(-x)=g(x)
F(-x)=f(-x)+g(-x)
=-f(x)+g(x)
=g(x)-f(x)
G(-x)=f(-x)g(-x)
=-f(x)g(x)
=-g(x)
所以 F(x) 可能是非奇非偶函数，G(x)是奇函数

Answer 3

F(-x)
=f(-x)+g(-x)
=-f(x)+g(x)
不等于f(x)和-f(x)
非奇非偶函数

G(-x)=[-f(x)]g(x)]=-G(x)
奇函数