Question

:高中数学题仿真（3） 第24题 跪求高手作答

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Answer 1

由图和已知条件可知，PA，AB，AD两两垂直
∴分别以AB，AD，AP所在的直线为x，y，z轴建系
∵PA⊥AD，且∠PDA=45°
∴PA=AD
可设AD=AB=AP=2
写出各点坐标
A(0，0，0) B(2，0，0) C(2，2，0) D(0，2，0)
P(0，0，2) E(1，0，0) F(0，1，1)
(1).求证：AF∥平面PCE
证明：(以下字母上面的向量标打不出来)
AF=(0，1，1)
设平面PCE的一个法向量m=(x1，y1，z1)
∵直线PC，CE在平面PCE内
∴PC⊥m，CE⊥m
∵PC=(2，2，-2)
EC=(1，2，0)
∴x1=4，y1=-2，z1=2
∴m=(4，-2，2)
∵AF×m=0-2+2=0
∴AF⊥m
∵AF不在平面PCE内
∴AF∥平面PCE
(2).求证：平面PCD⊥平面PCE
设平面PCD的一个法向量n=(x2，y2，z2)
∵直线PC，PD在平面PCD内
∴PC⊥m，PD⊥m
∵PC=(2，2，-2)
PD=(0，2，-2)
∴x2=0，y2=4，z2=4
∴n=(0，4，4)
∵平面PCE的法向量m=(4，-2，2)
∵n×m=0-8+8=0
∴n⊥m
∴平面PCE⊥平面PCD

Answer 2

取PC的中点G，则GF∥CD,GF=CD／2
∴GF∥AE,GF=AE

∴GFAE是平行四边形

∴AF∥EG

∴AF∥PEC

∵AF⊥PD（三线合一）,

∴EG⊥PD①

∵CD⊥PAD

∴CD⊥AF

∴CD⊥EG②

∴EG⊥PCD

∴PEC⊥PCD