RT三角形ABC中,角C=90度,AB=5,AC=4,点D是斜边AB中点
RT三角形ABC中,角C=90度,AB=5,AC=4,点D是斜边AB中点,把三角形ABC绕点C旋转,使得点B落在射线CD上,点A落在A',那么AA'的长是?给画个图吧,没...
RT三角形ABC中,角C=90度,AB=5,AC=4,点D是斜边AB中点,把三角形ABC绕点C旋转,使得点B落在射线CD上,点A落在A', 那么AA'的长是?给画个图吧,没有想象力,网上有个答案,但实在看不懂,答案等于5分之8根号5 ,不知道怎么出来的。过程请尽量具体些,少一步都看不懂,很悲剧,谢谢
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显然BC=B‘C=3,AB=A’B‘=5,CA=CA’=4;
D为AB的中点,根据直角三角形斜边上中线的性质,
∠B‘=∠B=∠BCD,而∠BCD与∠DCA互补,所以∠B‘与∠DCA互补,即∠CD’B‘是直角。
在rtΔCA'B'中,CD‘是其斜边上的高,则ΔCD'B'相似于ΔA'B'C,所以
CB²=A‘B’*B‘D’,B‘D’=CB²/A‘B’=9/5
同理可得A‘D’=A‘C²/A’B‘=16/5
CD’²=B‘D’*A‘D’=9/5*16/5=12²/5²,
CD‘=12/5,D’A=AC-CD‘=4-12/5=8/5
根据勾股定理,A’A²=A‘D’²+D‘A²=16²/5²+8²/5²,A’A=8√5/5
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(1)若是逆时针旋转角度大于90而小于180,使得点B落在斜边AB的中线DC的延长线上,则答案是AA'=16/√5,
∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,AC=4,点D是斜边AB的中点,把△ABC绕点C逆时针旋转,使得点B落在斜边AB的中线所在的直线上,点A落在点A’。
∴△ACA’是顶角为钝角的等腰三角形,两底角等于∠B的一半。
∴AA'=2*AC*cos(∠B/2)
∵cos∠B=BC/AB=3/5,cos∠B=2cos²(∠B/2)-1
∴cos(∠B/2)=2/√5
∴AA'=16/√5
(2)若是逆时针旋转角度大于180而小于360,使得点B落在斜边AB的中线CD的延长线上,则答案是AA'=8/√5,即是五分之八根号五。
∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,AC=4,点D是斜边AB的中点,把△ABC绕点C逆时针旋转,使得点B落在斜边AB的中线所在的直线上,点A落在点A’。
∴△ACA’是顶角等于∠B的等腰三角形。
∴AA'=2*AC*sin(∠B/2)
∵cos∠B=BC/AB=3/5,cos∠B=1-2sin²(∠B/2)
∴sin(∠B/2)=1/√5
∴AA'=8/√5
∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,AC=4,点D是斜边AB的中点,把△ABC绕点C逆时针旋转,使得点B落在斜边AB的中线所在的直线上,点A落在点A’。
∴△ACA’是顶角为钝角的等腰三角形,两底角等于∠B的一半。
∴AA'=2*AC*cos(∠B/2)
∵cos∠B=BC/AB=3/5,cos∠B=2cos²(∠B/2)-1
∴cos(∠B/2)=2/√5
∴AA'=16/√5
(2)若是逆时针旋转角度大于180而小于360,使得点B落在斜边AB的中线CD的延长线上,则答案是AA'=8/√5,即是五分之八根号五。
∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,AC=4,点D是斜边AB的中点,把△ABC绕点C逆时针旋转,使得点B落在斜边AB的中线所在的直线上,点A落在点A’。
∴△ACA’是顶角等于∠B的等腰三角形。
∴AA'=2*AC*sin(∠B/2)
∵cos∠B=BC/AB=3/5,cos∠B=1-2sin²(∠B/2)
∴sin(∠B/2)=1/√5
∴AA'=8/√5
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