Question

△ABC中,∠BAC=2∠ACB,点D是△ABC内的一点,且AD=CD,BD=BA

Answer 1

∠DBC与∠ABC度数的比值为1：3
证明：如图，作BM∥AC，并使∠MCA=∠BAC

∵∠BAC≠90°

∴∠MCA+∠BAC≠180°

∴AB不平行于CM

又∵BM∥AC，且∠MCA=∠BAC

∴四边形MCAB是等腰梯形

∴
AB=CM

∵
AD=CD

∴∠DCA=∠DAC

又∵∠MCA=∠BAC

∴∠MCA－∠DCA=∠BAC－∠DAC

即
∠MCD=∠BAD

∴△MCD≌△BAD（SAS）（条件就是上面的粗体字）

∴MD=BD

又∵BD=BA，BA=MC

∴MD=BD=BA=MC

∵∠MCA=∠BAC，∠BAC=2∠ACB

∴∠MCA=2∠ACB

∴∠MCB=∠ACB

∵BM∥AC

∴∠ACB=∠MBC

∴∠MCB=∠MBC

∴MC=MB

∴MB=MD=BD

∴△MDB为等边三角形

∴∠MBD=60°

∴∠BCA=∠MBC=∠MBD－∠CBD=60°－∠CBD

∵∠BAC=2∠ACB=2（60°－∠CBD）=120°－2∠CBD

∵在△ABC中，∠BCA+∠BAC+∠ABC=180°

∴（60°－∠CBD）+（120°－2∠CBD）+（∠CBD+∠ABD）=180°

∴∠ABD=2∠CBD

∴∠DBC：∠ABC=∠DBC：（∠ABD+∠DBC）=∠DBC：3∠DBC=1：3