Question

已知向量a=（cosα，sinα），向量b=（cosβ，sinβ），α∈(-π/4,π/4),β=π/4，向量a×向量b=3/5

已知向量a=（cosα，sinα），向量b=（cosβ，sinβ），α∈(-π/4,π/4),β=π/4，向量a×向量b=3/5，求sinα
向量a×向量b把乘号变成点

Answer 1

给你一个偏向几何的解法：

向量a与向量b的模都是1，可以将其放入单位圆中

如图，∠xOB=π/4=β，∠xOA=-α【由图及α∈(-π/4,π/4)得，α为负角】

则向量a=向量OA，向量b=向量OB

过A作AP⊥OB于P

向量a·向量b=3/5，即向量OA在向量OB上的投影：向量OP与向量OB的数量积为3/5

∵向量OP//向量OB

∴向量OP·向量OB=|OP|·|OB|=3/5=|OP|

又∵|OA|=1

∴由勾股定理得|PA|=4/5

∴sin∠AOP=sin(β-α)=4/5

cos(β-α)=3/5

sinα=sin[β-(β-α)]=sinβ·cos(β-α)-cosβ·sin(β-α)=-√5/10

Answer 2

符号写错了.向量a×向量b表示向量积,其结果是向量

追问

没错啊，向量a=（cosα，sinα），向量b=（cosβ，sinβ），向量a×向量b是坐标运算啊

追答

向量a×向量b结果为向量,不是一个数

http://baike.baidu.com/view/973423.htm

追问

那怎么改才对？卷上就这么写

追答

要么把叉改点,要么写|向量a×向量b|

(下面用DotProduct表示数量积,用CrossProduct表示向量积)
DotProduct(a,b)=|a||b|cos
|CrossProduct(a,b)|=|a||b|sin

追问

对，是点，那应该怎么做

追答

追问

我高一，这些看不懂啊。我用已知最后化简成cos(α-π/4)=3/5,然后就不会了

追答

先解方程,后代换求值.FullSimplify为彻底化简

Answer 3

由题目可以得到cos(α-π/4)=3/5。而α∈(-π/4,π/4),令t=α-π/4，那么t∈（-π/2,0),则sin(α-π/4)=-4/5，所以sinα=sin（t+π/4）=-√2／10。