Question

找规律的题目 初二 分式方程

第一个，
1/1×3+1/3×5+1/5×7+。。。+1/(2n-1)(2n+1)的结果为17/35,求n的值。

第二个，

方程(1/x+1)-(1/x)=(1/x-2)-(1/x-3)的解为x=1
方程（1/x）-（1/x-1）=（1/x-3）-(1/x-4)的解为x=2
方程(1/x-1)-(1/x-2)=（1/x-4）-（1/x-5）的解为x=3

写出能反映上述方程一般规律的方程，以及他的解。并利用上述结论，写一个解为x=-5的分式方程。

Answer 1

2/[(2k-1)(2k+1)]=[(2k+1)-(2k-1)]/[(2k-1)(2k+1)]=1/(2k-1)-1/(2k+1)
所以 2/（1×3）+2/（3×5）+2/（5×7)+。。。+2/[(2n-1)(2n+1)]
=1/1-1/3+1/3-1/5+1/5-1/7+.......................+1/(2n-1)-1/(2n+1)
=1-1/(2n+1)
所以1-1/(2n+1)=2×17/35=34、35=1-1/35 所以2n+1=35 2n=34 n=17

注意每个分母相对上面的均加一
第一个分母依次是x+1,x,x-1,....第k个是x+2-k ,后面每个分母依次是第一个分母 -1,-3,-4
按规律第k个方程是 1/(x+2-k)-1/(x+1-k)=1/(x-1-k)-1/(x-2-k) 按规律解为x=k
要解为x=-5令k=-5即可 （反方向推才能k是负数）
1/(x+7)-1/(x+6)=1/(x+4)-1/(x+3)
验算 1/(x+7)-1/(x+6)=-1/[(x+7)(x+6)] 1/(x+4)-1/(x+3)=-1/[(x+3)(x+4)]
(x+7)(x+6)=(x+3)(x+4) x²+13x+42=x²+7x+12 6x=-30 x=-5

Answer 2

1/1×3+1/3×5+1/5×7+。。。+1/(2n-1)(2n+1)=17/35
(1/2)【(1-1/3)+(1/3-1/5)+(1/5-1/7)+。。。+1/(2n-1)-1/(2n+1)】=17/35
1-1/(2n+1)=34/35
解得，n=17

追问

是（1-1/3）/2+(1/3-1/5)/2......（1/2n+1-1/2n-1）/2么，这个二分之一的来由？

追答

提取公因式呀
（1-1/3）/2+(1/3-1/5)/2......（1/2n+1-1/2n-1）/2，每一项都有 “ /2 ” ，就都提出来了

追问

嗯，谢谢，可以解答第二题么

追答

方程(1/x-1)-(1/x-2)=1/(x-1-m）-1/(x-2-m)的解为x=m

追问

答案给的是(1/x-n+1)-(1/x-n)=(1/x-n-2)-(1/x-n-3)
x=n+1
一直看不懂

Answer 3

第一个n等于17 你把这个式子写成1-1/3+1/3-1/5.............-1/2n+1在乘以1/2就和一起的式子一样 它最后化解以后就是1-1/2n+1等于34/35,n就等于17

追问

二分之一怎么来的呢

追答

比如说以前是1/3x5是1/15,现在时1/3 -1/5是2/15，比原来大2倍，所以要除以2

Answer 4

一，n=17
二，(1/x+7)-(1/x+6)=(1/x+4)-(1/x+3)

追问

能说明一下第2题么

追答

按顺序看你的给的方程：
首先看第二个， X=x,x=2
X=x-1,x=3
X=x+1，x=1,
那么，反推，x=-5,则，X=x+7,带进去就行。
能看懂吗？

追问

嗯，这个明白了，但第二题的第一问能说一下么

追答

(1/x-n+2)+(1/x-n+1)=(1/x-n-1)+(1/x-n-2),x=n

追问

答案给的是(1/x-n+1)-(1/x-n)=(1/x-n-2)-(1/x-n-3)
x=n+1
一直看不懂
是不是我符号打错了

追答

这个答案和我的是等效的，没有必要纠结于形式