Question

已知向量a=（sinx，cosx），b=（cosx，cosx），f（x）=a•（a+b）．

（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求f(x)的单调增区间；
（3）若函数g(x)=f(x)-k,x属于(0,pai/2).其中k属于R，讨论函数g(X)的零点。

Answer 1

f(x)=(sinx,cosx)·(sinx+cosx,2cosx)=sin²x+sinxcosx+2cos²x=0.5(1-cos2x)+0.5sin2x+cos2x+1=0.5sin2x+0.5cos2x+1.5=√2/2sin(2x+π/4)+1.5.
（1）周期为2π/2=π。
（2）当f(x)单调递增时，2kπ-0.5π≤2x+π/4≤2kπ+0.5π，k∈Z。
解得kπ-0.375π≤x≤kπ+0.125π，k∈Z。∴f(x)的单调增区间是[kπ-0.375π,kπ+0.125π],k∈Z。
（3）首先讨论f(x)的值域。在(0,π/2)上存在x=π/8使得f(x)达到最大值√2/2+1.5.
假设f(x)达到最小值，则2x+π/4=2kπ-0.5π，x=kπ-0.375π，k∈Z，在(0,π/2)上无解。
又f(0)=2,f(π/2)=1,∴f(x)在(0,π/2)上的值域为(1,√2/2+1.5].
∴g(x)在(0,π/2)上的值域为(1-k,√2/2+1.5-k].
(i)当1-k≥0，即k≤1时，g(x)无零点；
(ii)当1-k＜0，2-k＞0,即1＜k＜2时，g(x)有一零点；
(iii)当2-k≤0，√2/2+1.5-k＞0，即2≤k＜√2/2+1.5时，g(x)有两零点；
(iv)当k=√2/2+1.5时，g(x)有一零点；
(v)当k＞√2/2+1.5时，g(x)无零点。
以上是全部过程，望采纳！