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①当n=1是，1＜2成立
②当n=2,3,4，……
因为1/n（n-1）＞1/n^2
所以原式＜1+1/2*1+1/3*2+……+1/（n-1）n
即 原式＜1+1-1/2+1/2-1/3+……+1/（n-1）-1/n
即原式＜1+1-1/n
所以原式＜2-1/n＜2
故原式＜2
由①，②可证
②当n=2,3,4，……
因为1/n（n-1）＞1/n^2
所以原式＜1+1/2*1+1/3*2+……+1/（n-1）n
即 原式＜1+1-1/2+1/2-1/3+……+1/（n-1）-1/n
即原式＜1+1-1/n
所以原式＜2-1/n＜2
故原式＜2
由①，②可证
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1/2²＜1/(1*1/2)=1-1/2
1/3²＜1/(1/2*1/3)=1/2-1/3
1/n²＜1/[(n-1)*1/n]=1/(n-1)-1/n
1/2²+1/3²+…+1/n²＜1-1/2+1/2-1/3+……+1/(n-1)-1/n=1-1/n
1/1²+1/2²+1/3²+…+1/n²＜1+1-1/n＜2
1/3²＜1/(1/2*1/3)=1/2-1/3
1/n²＜1/[(n-1)*1/n]=1/(n-1)-1/n
1/2²+1/3²+…+1/n²＜1-1/2+1/2-1/3+……+1/(n-1)-1/n=1-1/n
1/1²+1/2²+1/3²+…+1/n²＜1+1-1/n＜2
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