Question

函数z=x^2+y^2-1的极小值点(x.y)=

Answer 1

对x求偏导：2x+2zz'x-2-4z'x=0
得：z'x=(1-x)/(z-2)
同理得z'y=(1-y)/(z-2)
由z'x=0,z'y=0,得x=1,
y=1
将其代入原方程得：1+1+z²-2-2-4z-10=0
得：z²-4z-12=0
(z+2)(z-6)=0
z=-2,6
z"xx=[-(z-2)-(1-x)z'x]/(z-2)²
z"xy=-(1-x)/(z-2)²
z"yy=[-(z-2)-(1-y)z'y]/(z-2)²
当x=1,
y=1,
z=-2时，a=z"xx=-1/(z-2)=1/4,
b=z"xy=0,
c=z"yy=-1/(z-2)=1/4;
ac-b²=1/16>0,a>0,
因此这是极小值点；
当x=1,y=1,z=6时，a=z"xx=-1/(z-2)=-1/4,
b=z"xy=0,
c=z"yy=-1/(z-2)=-1/4;ac-b²=1/16>0,
a<0,因此这是极大值点。
故函数有一个极小值，一个极大值。