Question

高中数学：设a为实数,已知函数f(x)=(1/3)x³-ax²+(a²-1)x. 当a=1时,求函数f(x)的

设a为实数,已知函数f(x)=(1/3)x³-ax²+(a²-1)x.
（1）当a=1时,求函数f(x)的极值。
（2）若方程f(x)=0有三个不相等的实数根，求a的取值范围。

Answer 1

解：
1、当a=1时 f(x)=(1/3)x³-x²
则f`(x)=x²-2x
当0<x<2时，f`(x)<0
所以 f(x)在[0，2]上是减函数
当x<0或x>2时，f`(x)>0
所以f(x)在（负无穷，0]或[2，正无穷]是增函数
于是当x=0时f(x)取得最大极即时f(0)=(1/3)0³-0²=0，
当x=2时f(x)取得最小极f(2)=(1/3)2³-2²=-4/3
2、因为f`(x)=x²-2ax+a²-1
由x²-2ax+a²-1=0得
x1=a-1 x2=a+1
于是当a-1<x<a+1时，f`(x)<0
所以 f(x)在[a-1，a+1]上是减函数
当x<a-1或x>a+1时，f`(x)>0
所以f(x)在（负无穷，a-1]或[a+1，正无穷]是增函数
于是当x=0时f(x)取得最大极即时f(a-1)=(1/3)(a-1)³-a(a-1)²+(a²-1)(a-1)=(a-1)²(a+2)/3
当x=a+1时f(x)取得最小极f(a+1)=(1/3)(a+1)³-a(a+1)²+(a²-1)(a+1)=(a+1)²(a-2)/3
所以若方程f(x)=0有三个不相等的实数根，则
f(a-1)=(a-1)²(a+2)/3>0 （1）
且f(a+1)=(a+1)²(a-2)/3<0 （2）
解（1）得 a>-2
解（2）得 a<2
所以-2<a<2
但当a=1 a=-1时，由（1）、（2）知f(a-1)=0，f(a+1)=0
知道方程f(x)=0只有2个不相等的实数根
所以-2<a<2且a不为1且a不为-1
a的取值范围是a∈(－2，－1)∪(－1，1)∪(1，2)

追问

为什么想到要验-1和1两个点？

追答

由f(a-1)=(a-1)²(a+2)/3 （1）且f(a+1)=(a+1)²(a-2)/3 （2）
知当a=1时f(a-1)=f(0)=(1/3)x³-ax²+(a²-1)x=0
f(a+1)=f(2)=(1/3)x³-ax²+(a²-1)x=-4/3
这时方程f(x)=0只有2个不相等的实数根
同样a=-1也是如此。
所以要验-1和1两个点

Answer 2

当a=1时，f(x)=(1/3)x³－x²
则：f'(x)=x²－2x=x(x－2)
则函数f(x)的递增区间是：(－∞，0)，(2，＋∞)；递减区间是：(0，2)

方程f(x)=0有三个不同的解，则：
f'(x)=x²－2ax＋(a²－1)=[x－(a＋1)]×[x－(a－1)]
则函数f(x)的极小值是f(a＋1)=(1/3)(a＋1)²(a－2)<0，得：a<2且a≠－1
且f(x)的极大值f(a－1)=(1/3)(a－1)²(a＋2)>0，得：a>－2且a≠1
综合，得：a∈(－2，－1)∪(－1，1)∪(1，2)