Question

高数凹凸性证明

一点不懂，求证明

Answer 1

关于凸函数的确定，有如下定理：
一元二阶可微的函数在区间上是凸的，当且仅当它的二阶导数是非负时成立；
凸函数还有如下性质：
f[(x1+x2)/2]≤[f(x1)+f(x2)]/2；其中x1和x2是函数定义域中不同的两个值。
以上是所需的定理。

证明：
设f(t)=t^n（x>0，n>1）
则有f(x)的二阶导函数f "(t)=(n²-n)t^(n-2)
因为n>1所以n²-n=n(n-1)>0
又x>0，所以x^(n-2)>0
所以f "(t)>0成立。
所以f(t)是凸函数。
令t1=x，t2=y
则有(x^n+y^n)/2>[(x+y)/2]^n
题目得证。

希望能够帮到你。

Answer 2

设f(x)=x^n，则f''(x)=n(n-1)x^(n-2)，因为x>0，n>1.所以f''(x)>0，故f(x)是凹的，根据凹函数的性质，[f(x)+f(y)]/2>f[(x+y)/2]，所以(x^n+y^n)/2>[(x+y)/2]^n