Question

利用凹凸性证明不等式成立

我设f(x)=1-cosx-2x/π，得到fx是一个凹函数，但无法证明小于，可能就差一步了，请问怎么解决

Answer 1

得到函数是凹函数说明导数是单调的，再把两端点代入导数中发现导数恒小于0，那么f(x)是单调递减的，所以f(x)小于f(0)

Answer 2

凹函数的极大值在两个端点取得,算出两个端点值取大的那个 那个就是极大值
极大值为0由于无法取到 所以对任意X属于0.pi/2满足

Answer 3

对函数求导

追问

我算出来f''(x)=cosx，那还是做不出，无法判断他们两的大小

追答

f"(x)=sinx-2/pi,f"(x)先小于0后大于0，所以f(x)先递减后递增，所以f(x)<f(0)=0且f(x)<f(1)=0

追问

还差一点，为什么f(x)<f(0)，而f(x)又<f(1)了呢

追答

不好意思写错了，令sinA=2/pi,因为sinx是递增的，当0<x<A时，f(x)的导数小于0则f(x)递减，那么当0<x<A时，f(x)<f(0)=0,当A<x<pi/2时，f(x)的导数大于0则f(x)递增，那么f(x)<f(pi/2)=0