Question

设f为R上单调函数,定义g(x)=f(x+0),证明函数g在R上每点都右连续

Answer 1

解：g（x）为r上周期为1的函数，则g（x）=g（x+1）
函数f（x）=x+g（x）在区间[0，1]【正好是一个周期区间长度】的值域是[-2，5]
令x+1=t，当x∈[0，1]时，t=x+1∈[1，2]
此时，f（t）=t+g（t）=（x+1）+g（x+1）=（x+1）+g（x）
=[x+g（x）]+1
所以，在t∈[1，2]时，f（t）∈[-1，6]…（1）
同理，令x+2=t，在当x∈[0，1]时，t=x+2∈[2，3]
此时，f（t）=t+g（t）=（x+2）+g（x+2）=（x+2）+g（x）
=[x+g（x）]+2
所以，当t∈[2，3]时，f（t）∈[0，7]…（2）
由已知条件及（1）（2）得到，f（x）在区间[0，3]上的值域为[-2，7]
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Answer 2

证明:
∵f为R上的单调函数,
∴f的不连续点为最多可数集
设f的不连续点组成的集合为E
则g(x)=f(x+0)=f(x)
x∈R\E
∴g(x)在R\E上连续,则也右连续
任取x∈E,g(x)=lim(t->x+)f(t)=lim(t->x+)g(t)
t∈R\E
∴g在x右连续
综上,g(x)在R上右连续
补充:证明没有用到是否存在那样的开区间.不过可以做如下解释
由于E包含于R,且E为最多可数集
则R\E稠于E,即E中每个点都可以由R\E中的点列来逼近
由于极限lim(t->x+)f(t)存在,所以让t属于R\E来求得的极限必然和t∈R时的极限相同.所以有如上证明.
补充2:请注意,D(x)可不单调
关于那一步证明用的是实变函数的结论.
补充3:我不会^^