Question

0<x<π 证明sin(x/2)>x/π

Answer 1

简单分析一下，答案如图所示

Answer 2

只要证sin(x/2)-x/π
>0
令f(x)=sin(x/2)-x/π
x
属于[0,π],f(x)的导数=[cos(x/2)]/2-1/π
令f(x)的导数=0，它的解设为t(0<t<π)
在（0,t)上递增，在(t,π)上递减
所以f(x)的最小值只有在0或π处取得
f(0)=0,f(π)=0
f(x)的最小值=0
故有0<x<π
证明sin(x/2)>x/π

Answer 3

将x/π移过去乘以π求导，得0.5πcos(x/2)-1
可知sin(x/2)-x/π为先增后减
所以最小值只有可能在0或者π，当x=0是值为0，此时相等
当x=π时值为0，还是相等
故有0<x<π
证明sin(x/2)>x/π

Answer 4

设f(x)=sin(x/2)-(x/π)，则f'(x)=1/2*cosx/2-1/π
令f'(x)=0得x=2arccos(2/π)为唯一驻点
而当0
x/π
另外，这道题可直接用函数的凹凸性来求解，因为y=sin(x/2)二阶导数小于0，
所以函数y=sin(x/2)在开区间0
x/π