如图,抛物线y=(x-1)2+n与x轴交于A、B两点,A在B的左侧,与y轴交于C(0,-3)
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将(0,-3)代人到抛物线y=(x-1)²+n,得,
1+n=-3,
解得n=-4
所以y=(x-1)²-4=x²-2x-3=(x-3)(x+1),对称轴为直线x=1,
因为A在B的左侧
所以B(3,0),
过P作PE⊥FM,垂足为E,
因为∠BMP=90
所以∠BMF+∠PME=90,
因为∠ABM+∠BMF=90
所以∠ABM=∠PME
因为∠BFM=∠PEM=90,BM=MP
所以△BFM≌△MEP
所以FM=EP,FB=EM
因为FB=2,
所以EM=2
设P点的横坐标为a,则P的纵坐标为-(a-1+2)
代人到抛物线中,得,
a²-2a-3=-(a-1+2)
a²-a-2=0,
a1=-1,a2=2
因为P在第四象限,
所以P(2,-3)
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可以简单点:将已知点带入求的方程之后,y=(x-1)²-4=x²-2x-3=(x-3)(x+1),所以对称轴是x=1。令x=0带入,得c点的纵坐标也就是p点的纵坐标是-3,再将-3带入得横坐标为0和2,答案不言自明了。
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由抛物线过点C可知n=-4,由此可知B点的坐标(0,3)。设点M的坐标为(1,t)点B和点P可以看作以M点为圆心,以BM为半径的圆上的两点。由此可列圆的方程式为(x-1)2+(y-t)2=1+(t-3)2。又因为M点在抛物线的坐标轴上,所以A点必定在圆上。由此可得三个方程,可以解得答案。
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