Question

积分证明题

Answer 1

设所求函数为F(x)=
∫f(t)dt
(下限0，上限x)
则F(-x)=∫f(t)dt
(下限0，上限-x)
令u=-t
则F(-x)=∫f(-u)*d(-u)
(下限仍为0，上限取负则变回x)
而f(x)是奇函数，所以f(-u)=-f(u)
所以F(-x)=∫[-f(u)]*(-1)*du
(下限0，上限x)
=∫f(u)du（下限0，上限x）
由此观察出，除了用u替换了t外，F(x)与F(-x)的表达式是完全一样的，且u,t作为被积分的量，它们的意义相同，因此，F(x)=F(-x),F(x)为偶函数，即原∫f(x)dx是偶函数
提醒楼主，∫号后的被积量，例如此题中的∫f(x)dx，这个式子中的x仅仅是一种被积量的表示，它可以任意替换成t,u等任意字母，而只有积分限上的x才是函数的自变量真正的代表，千万不要混淆，建议向我一上来那样把∫f(x)dx换成∫f(t)dt，这样就不容易搞混了