如图1 在△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8 CD是斜边AB上的高
（2）点E在斜边AB上，过点E做直线EF⊥AB与△ABC的直角边相交于点F，设AE=x，△AEF的面积为y
1.求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）
2.当x取何值时，y有最大值？并求出最大值
（3）若点Q在直角边AC上（点Q与A、C不重合），点P在斜边AB上移动，试问，是否存在直线PQ将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线PQ，求出AP的值，若不存在，请说明理由 展开
分析：
（1）先根据勾股定理求出AB的长，再根据Rt△ADC∽Rt△ACB，利用其相似比即可求出AD的长；
（2）①分别根据x的取值范围及三角形的面积公式分类可得x、y的函数关系式；
②根据①中所求的函数关系式求出其最值即可．
（3）先求得△ABC的面积的1/2，进而得到△AEF得到面积的函数关系式，让它等于3列式即可求解．
解答：
解：（1）∵△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB=√﹙3²+4²﹚=5，
∵CD⊥AB，
∴∠CDA=∠ACB，
又∠CAD=∠CAD，
∴Rt△ADC∽Rt△ACB，
∴AD/AC=AC/AB，即AD/3=3/5，AD=9/5．
（2）①由于E的位置不能确定，故应分两种情况讨论：
如图A：当0＜x≤AD，即0＜x≤9/5时，
∵EF⊥AB，
∴Rt△AEF∽Rt△ACB，即AE/AC=EF/BC，
∵AC=3，BC=4，AE=x，
∴x/3=EF/4，EF=4/3 x，
S△AEF=y=1/2AE•EF=1/2 x•4/3 x=2/3 x²．
如图B：当AD＜x≤BD，即9/5＜x≤5时，
∵EF⊥AB，
∴Rt△BEF∽Rt△BCA，
∴EB/BC=EF/AC，
∵AE=x，△AEF的面积为y，﹙5-x﹚/4=EF/3，
∴EF=﹙15-3x﹚/4，
y=1/2×AE×EF=1/2x•﹙15-3x﹚/4=15x/8-3x²/8．
②当如图A：当0＜x≤AD，即0＜x≤9/5时，
S△AEF=y=1/2AE•EF=1/2x•4/3x=2/3 x²，
当x=AD，即x=9/5时，y最大=2/3×（9/5）²=54/25．
如图B：当AD＜x≤BD，即9/5＜x≤5时，
y=1/2x×3/4（5-x）=15x/8-3x²/8，y最大=75/32，此时x=2.5＜5，故成立．
故y最大=75/32．
（3）不存在．
根据题意可知：直线EF把△ABC的周长分为相等的两部分，
即AC+CF+AE=FB+EB，
又∵CF+FB=BC，
∴3+x+4-FB=FB+5-x，即FB=x+1，
∵sinB=AC/AB=3/5，
∴FG=FBsinB=3/5（x+1），
又∵直线EF把△ABC的面积分为相等的两部分，
∴S△EFB=1/2EB•FG=1/2S△ABC=3，
即1/2（5-x）•3/5（x+1）=3，
化简得：x²-4x+5=0，
∵△=b²-4ac=16-20=-4＜0，
∴此方程无解，
故不存在x，直线EF将△ABC的周长和面积同时平分．
点评：此题比较复杂，是典型的动点问题，涉及面较广，涉及到勾股定理、二次函数的最值及相似三角形的有关知识，综合性较强．
有疑问可以追问哦，。
有AD*AB=AC*AC解得AD=3．6
（2）AE=x,EF=4x/3
有y=½AE*EF=(2x^2)/3
