Question

对于函数f（x），若存在区间M=【a，b】（其阿红a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，则称区间M为函数

对于函数f（x），若存在区间M=【a，b】（其阿红a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，则称区间M为函数的一个稳定区间，则下列函数存在稳定区间的是？

①f（x）=（x-1）²
②f（x）=|2^x -1|
③f（x）=cos（π/2）x
④f（x）=e^x
答案中说只要将此函数与y=x联立得到的区间就是稳定区间，我感觉不对
需要答案和函数的稳定区间，谢谢！
（其中a＜b）

Answer 1

1、f(x)=(x－1)²，在区间[0，1]上的值域也是[0，1]，满足；
2、f(x)=|2^x－1|，在区间[0，1]上的值域也是[0，1]，满足；
3、f(x)=cos(π/2)x，在区间[0，1]上的值域也是[0，1]，满足；
4、f(x)=e^x，其值域是(0，＋∞)，结合函数图像，不存在区间[a，b]，使得这个函数在区间[a，b]上的值域也是[a，b]
本题正确的有：【1、2、3】

用曲线y=f(x)与y=x联立的话，可能会出现问题。【证明某个函数不满足，可以联立；证明满足的话，我觉得联立不合适】

追问

也就是用y=f(x)与y=x联立得到的区间并不一定是稳定区间吗？

追答

联立未必正确。
如：f(x)=cos(π/2)x的话，联立会出现问题的。。
你可以结合函数图象再次看看。。

Answer 2

解：之所以将函数与y＝x联立，是因为y＝x是对任意的x∈［a，b］，都有y∈［a，b］
而若将函数比如①f（x）＝（x－1）∧2与y＝x联立！
解（x－1）∧2＝x得
x∧2－3x＋1＝0
其中△＝9－4＊1＝5＞0
所以有两个解，记为x1和x2
x1和x2也就是函数f（x）与y＝x的两个交点的横坐标！
∵x1、x2是y＝x上的点
∴x∈［x1，x2］时，必有y∈［x1，x2］
因此，求函数的稳定区间就是看该函数f（x）＝x有没有解！有解则存在，无解则不存在！
下面选项就不一一说明了！说下第4个吧！
令e∧x＝x即e∧x－x＝0
令h（x）＝e∧x－x
则h'（x）＝e∧x－1
已知x＝0时，h（x）取最小值h（0）＝1＞0
∴h（x）＞0，∴原方程无解！即不存在稳定区间！

追问

我试卷的答案说此函数与y=x函数两交点所在的区间就是稳定区间，对吗？我感觉不对。谢谢！

追答

对！我上面也是这么说的！打了一夜的字还是没被你采纳！那什么高级教师简直是胡说八道，谁说会出问题！除非函数不连续！但选项每个函数都连续！我的解释你还是好好琢磨一下吧！你会明白的？要不你去叫你老师给你讲一下，笔述没有口述好！

追问

（x－1）²＝x

x²－3x＋1＝0

x1=（3-√5）/2≈0.38
x2=（3+√5）/2≈2.62
x∈［x1，x2］时，必有y∈［x1，x2］

那么对于f（x）=（x－1）²，若x∈［0.38，2.62］时，必有y∈［0.38，2.62］
但是f（1）=0，而0不在区间［0.38，2.62］上。

追答

是存在x∈［a，b］，不是对任意的x∈［a，b］，如你所说x∈［0.38，2.62］，我可以取［1.38，2，28］，注意是存在！

Answer 3

解题如下，点击放大

追问

我试卷的答案说此函数与y=x函数两交点所在的区间就是稳定区间，对吗？我感觉不对。谢谢！

Answer 4

区间正方形端点有无皆可

Answer 5

追问

我试卷的答案说此函数与y=x函数两交点所在的区间就是稳定区间，对吗？我感觉不对。谢谢！