Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为直径的圆O交AB于点D，E为BC中点，求证：DE是圆O的切线

Answer 1

连接OD，可得OD是半径即2分之一AC（直径），因为AC比DE=1比2，CB比EB=1比2，∠B=∠B，所以△DEB相似于△ABC，所以∠EDB=∠CAB，所以DE平行于AC，所以DE为园O的切线

Answer 2

如图，连接OE，OE

∵AC是直径，∴O为AC中点

又∵E为CB中点

∴OE为△ABC的中位线

OE平行于AB

∠COE=∠A

又因为AO=DO

∠A=∠ADO

且∠ADO=∠DOE(平行)

即∠DOE=∠COE

OE=OE

CO=OD

△DOE全等于△COE

∠C=∠ODE=90°

DE是切线