Question

正三棱锥顶点在底面的射影 与顶点的连线垂直于其底面吗

麻烦详解下概念，主要是这道题已知正三棱锥的底面边长为2，高为1，则该三棱锥的侧面积为____

我过顶点作底面的垂线连接至底面的一个顶点 认为其与底面垂直 可算出来的答案确实错的 请帮我解释下这么理解错误的原因，谢谢！

Answer 1

当然垂直，所谓正三棱锥顶点在底面的射影就是从顶点向底面作垂线，其垂足就是顶点在底面的射影，故与顶点的连线垂直于其底面。
设正三棱锥P-ABC，AB=BC=AC=2，OP⊥平面ABC，则O是正△ABC的外心（重心、内心、垂心），连结AO并延长交BC于M，则AM⊥BC，（∵O是正△中垂线、高、中线、角平分线的交点，）
∴M是BC的中点，
∵PC=PB，
∴PM⊥BC，
AM=（√3/2）BC=√3，
OM=AM/3=√3/3，
根据勾股定理，PM=√（PO^2+OM^2)=√（1+1/3）=2√3/3，
∴S侧=（PM*BC/2）*3=[（2√3/3）*2/2]*3=2√3。
“过顶点作底面的垂线连接至底面的一个顶点”能否再具体说明一下？

追问

正三棱锥的顶点与底面的中心也垂直吗？

追答

应该是正三棱锥的顶点与底面的中心的连线和底面垂直。该中心是正三角形的外心（重心）。