Question

已知三角形ABC的三边长BC=a,AC=b,AB=c,O为ABC所在平面内一点

Answer 1

答案是内心。
解：因为OB=AB-AO
OC=AC-AO
所以aOA+bOB+cOC=aOA+bAB-bAO+cAC-cAO
=bAB+cAC-(a+b+c)AO
而
aOA+bOB+cOC=0
所以(a+b+c)AO=bAB+cAC
即
AO=b/(a+b+c)
*
AB
+
c/(a+b+c)
*
AC
记AB=c*eab,
AC=b*eac,
其中eab
eac分别表示AB
AC方向上的单位向量
则
AO=bc/(a+b+c)
*
(eab+eac)
由该式可以看出AO位于角BAC的角平分线上，故知O只能为内心，即角平分线交点。
接下面还需要证明内心满足上式。因为上面只是证明了如果存在这样的点O，那么点O只能是内心。这个证明我一时没有想出可以方便打字的证明方法，需要画个图说明一下，你就自己琢磨一下好了，如果想不出来再问我。

Answer 2

答案是内心。
解：因为OB=AB-AO
OC=AC-AO
所以aOA+bOB+cOC=aOA+bAB-bAO+cAC-cAO
=bAB+cAC-(a+b+c)AO
而
aOA+bOB+cOC=0
所以(a+b+c)AO=bAB+cAC
即
AO=b/(a+b+c)
*
AB
+
c/(a+b+c)
*
AC
记AB=c*eab,
AC=b*eac,
其中eab
eac分别表示AB
AC方向上的单位向量
则
AO=bc/(a+b+c)
*
(eab+eac)
由该式可以看出AO位于角BAC的角平分线上，故知O只能为内心，即角平分线交点。
接下面还需要证明内心满足上式。因为上面只是证明了如果存在这样的点O，那么点O只能是内心。

Answer 3

因为OB=AB-AO
OC=AC-AO
所以aOA+bOB+cOC=aOA+bAB-bAO+cAC-cAO
=bAB+cAC-(a+b+c)AO
而
aOA+bOB+cOC=0
所以(a+b+c)AO=bAB+cAC
即
AO=b/(a+b+c)
*
AB
+
c/(a+b+c)
*
AC
记AB=c*eab,
AC=b*eac,
其中eab
eac分别表示AB
AC方向上的单位向量
则
AO=bc/(a+b+c)
*
(eab+eac)
由该式可以看出AO位于角BAC的角平分线上，故知O只能为内心，即角平分线交点。