Question

已知函数f（x）=（（log2为底x的对数）-2）（（log4为底x的对数）-1/2），2≤x≤4

Answer 1

设t=log2(x),
则2=<x<=4,
即1=<t<=2
又f(x)=(t-2)(t/2-1/2=(t^2-3t+2)/2=[(t-3/2)^2-1/4]/2
则当t=3/2时，fmin=-1/8
当t=1
或者
2时，fmax=0
则f(x)的值域为[-1/8,0]
2)(t-1)(t-2)/2<=mt,
此时
对于1=<t<=2恒成立
即m>=(t^2-3t+2)/(2t)=(t+2/t-3)/2=g(t)
t+2/t>=2√(t*2/t)=2√2,
当t=2/t,
即t=√2时取最小值,gmin=(2√2-3)/2。
最大值则区间端点取得：gmax=g(1)=g(2)=0
则有：m>=0

Answer 2

设t=log2(x),
则2=<x<=4,
1=<t<=2
f(x)=(t-2)(t/2-1/2)=(t-1)(t-2)/2=(t^2-3t+2)/2=[(t-3/2)^2-1/4]/2
t=3/2时，fmin=-1/8
t=1
or
2时，fmax=0
所以f(x)的值域为[-1/8,0]
2)相当于(t-1)(t-2)/2<=mt,
对于1=<t<=2恒成立
即m>=(t^2-3t+2)/(2t)=(t+2/t-3)/2=g(t)
由均值不等式，t+2/t>=2√(t*2/t)=2√2,
当t=2/t,
即t=√2时取最小值,gmin=(2√2-3)/2。
最大值则区间端点取得：gmax=g(1)=g(2)=0
因此有：m>=0

Answer 3

设t=log2(x),
则2=<x<=4,
1=<t<=2
f(x)=(t-2)(t/2-1/2)=(t-1)(t-2)/2=(t^2-3t+2)/2=[(t-3/2)^2-1/4]/2
t=3/2时，fmin=-1/8
t=1
or
2时，fmax=0
所以f(x)的值域为[-1/8,0]
2)相当于(t-1)(t-2)/2<=mt,
对于1=<t<=2恒成立
即m>=(t^2-3t+2)/(2t)=(t+2/t-3)/2=g(t)
由均值不等式，t+2/t>=2√(t*2/t)=2√2,
当t=2/t,
即t=√2时取最小值,gmin=(2√2-3)/2。
最大值则区间端点取得：gmax=g(1)=g(2)=0
因此有：m>=0