Question

紧急求教！！写论文时用的，计算矩阵的最大特征值，7阶矩阵M如下， 多谢了。。。感激不尽

M={1 1/3 1 1/6 1/5 1/3 1/2；3 1 3 1/3 1/4 1/2 1/2；1 1/3 1 1/5 1/5 1/5 1/3；6 3 5 1 1 2 1；5 4 5 1 1 2 2；3 2 5 1/2 1/2 1 1/2；2 2 3 1 1/2 2 1}
P.S：
1、我想知道编程步骤
2、请写一下最大特征值及其对应的特征向量（向量写成转置矩阵吧）并列出其他特征值（不必列出对应的特征向量）
谢谢了，在写论文时，建立层次评价模型求权重用，急用，达人们给力呀

Answer 1

不太懂编程, 不过有现成工具可用.
Mathematica只需要一个函数就能得到所有特征值和对应的特征向量:
Eigensystem[{{1, 1/3, 1, 1/6, 1/5, 1/3, 1/2},
{3, 1, 3, 1/3, 1/4, 1/2, 1/2},
{1, 1/3, 1, 1/5, 1/5, 1/5, 1/3},
{6, 3, 5, 1, 1, 2, 1},
{5, 4, 5, 1, 1, 2, 2},
{3, 2, 5, 1/2, 1/2, 1, 1/2},
{2, 2, 3, 1, 1/2, 2, 1}}]

数值结果用:
N[Eigensystem[{{1, 1/3, 1, 1/6, 1/5, 1/3, 1/2},
{3, 1, 3, 1/3, 1/4, 1/2, 1/2},
{1, 1/3, 1, 1/5, 1/5, 1/5, 1/3},
{6, 3, 5, 1, 1, 2, 1},
{5, 4, 5, 1, 1, 2, 2},
{3, 2, 5, 1/2, 1/2, 1, 1/2},
{2, 2, 3, 1, 1/2, 2, 1}}]]
输出为
{{7.24398, -0.0507673 + 1.19136 I, -0.0507673 - 1.19136 I, -0.00121045 + 0.444738 I, -0.00121045 - 0.444738 I, -0.0700136 + 0.357753 I, -0.0700136 - 0.357753 I},
{{0.28126, 0.539823, 0.249504, 1.40788, 1.58162, 0.827308, 1.},
{-0.044354 - 0.251286 I, -0.394803 + 0.19861 I, -0.0938761 - 0.124568 I, 0.102755 + 0.484544 I, 0.45651 - 0.0757473 I, -0.110917 + 0.611875 I, 1.},
{-0.044354 + 0.251286 I, -0.394803 - 0.19861 I, -0.0938761 + 0.124568 I, 0.102755 - 0.484544 I, 0.45651 + 0.0757473 I, -0.110917 - 0.611875 I, 1.},
{-0.0238199 - 0.332635 I, 0.0398586 - 0.511946 I, 0.210527 + 0.405317 I, -1.9436 + 1.83159 I, -2.35329 - 0.558993 I, 0.727691 - 0.317073 I, 1.},
{-0.0238199 + 0.332635 I, 0.0398586 + 0.511946 I, 0.210527 - 0.405317 I, -1.9436 - 1.83159 I, -2.35329 + 0.558993 I, 0.727691 + 0.317073 I, 1.},
{-0.587201 - 0.130567 I, 0.414441 + 0.340911 I, 0.452218 + 0.0228507 I, -0.801689 + 4.05188 I, -0.586997 - 1.58518 I, -0.492979 - 1.69539 I, 1.},
{-0.587201 + 0.130567 I, 0.414441 - 0.340911 I, 0.452218 - 0.0228507 I, -0.801689 - 4.05188 I, -0.586997 + 1.58518 I, -0.492979 + 1.69539 I, 1.}}}
第一组为特征值, 后面为依次对应的特征向量.

所以只有一个实特征值: 7.24398, 相应特征向量:
{0.28126, 0.539823, 0.249504, 1.40788, 1.58162, 0.827308, 1.}.

刚看到另一个一样的问题(不过(1,6)和(6,1)两个位置不一样).
特征向量乘以非零数还是特征向量.
作为权重是要各分量之和为1?
那不妨将上面所得特征向量除以各分量之和, 得.
{0.0510222, 0.0927348, 0.0426905, 0.24047, 0.269532, 0.134296, 0.169255}.

Answer 2

用 Matlab 的计算结果为:
>> eig(M) --所有特征值
ans =
7.2440
-0.0508 + 1.1914i
-0.0508 - 1.1914i
-0.0700 + 0.3578i
-0.0700 - 0.3578i
-0.0012 + 0.4447i
-0.0012 - 0.4447i

>> [V,D]=eig(M);
V =
-0.1095 -0.0304 - 0.1721i -0.0304 + 0.1721i 0.0028 - 0.1205i 0.0028 + 0.1205i -0.0541 + 0.0663i -0.0541 - 0.0663i -0.2101 -0.2705 + 0.1361i -0.2705 - 0.1361i -0.0509 + 0.0948i -0.0509 - 0.0948i -0.0975 + 0.0886i -0.0975 - 0.0886i
-0.0971 -0.0643 - 0.0853i -0.0643 + 0.0853i 0.0131 + 0.0898i 0.0131 - 0.0898i 0.0320 - 0.1127i 0.0320 + 0.1127i
-0.5480 0.0704 + 0.3319i 0.0704 - 0.3319i -0.8279 -0.8279 0.6851 0.6851
-0.6156 0.3127 - 0.0519i 0.3127 + 0.0519i 0.2889 - 0.1771i 0.2889 + 0.1771i 0.3410 + 0.5184i 0.3410 - 0.5184i
-0.322

每一列是对应的特征向量
对的不齐, 对应 特征值 7.2440 的特征向量是
-0.1095
-0.2101
-0.0971
-0.5480
-0.6156
-0.3220
-0.3892