Question

如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A，B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标3.0

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，设E是抛物线上在第一象限内的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH．则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；
（3）如图3，在抛物线上是否存在一点T，过点T作x轴的垂线，垂足为点M，过点M作MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由

Answer 1

(1) 

顶点为C(1,4), y = a(x - 1)² + 4

 过点B(3, 0): a(3 - 1)² + 4 = 0, a = -1

y = -(x - 1)² + 4 = -x² + 2x + 3

(2) 

抛物线对称轴为x =1, E, F关于对称轴对称

设E(1 + p, 4 -p²), F(1 - p, 4- p²)

GH = 1+ p - (- p) = 2p = 4- p²

p² + 2p - 4 = 0

p = -1 + √5 (舍去-1 -√5 <0)

正方形的边长= 2p= 2(√5  - 1)

(3) 

MN∥BD, ∠DMN = ∠MDB; 要使二者相似，只需另一对内角相等，如∠NDM = ∠MBD

D(0, 3), B(3,0), A(-1, 0)

tan∠MBD = OD/OB = 3/3 = 1, ∠MBD = 45˚

设M(m, 0)

DM斜率为k1 = (3 - 0)/(0-m) = -3/m

AD斜率为k2 = (3 - 0)/(0 + 1) = 3

tan∠NDM = |(k1 - k2)/(1 + k1*k2)| = |(-3/m - 3)/(1 - 3*3/m)| = |(3m+ 3)/(m- 9)| = tan45˚ = 1

m = -6或m = 3/2

(i) m = -6: 

MN, BD斜率为-1, MN方程: y- 0 = -1(x + 6), y = -x - 6

AD方程: x/(-1) + y/3 = 1

N(-9/4, -15/4), -9/4 < -1(A的横坐标), 舍去

(ii) m = 3/2

MN, BD斜率为-1, MN方程: y- 0 = -1(x - 3/2), y = 3/2 -x 

N(-3/8, 15/8), N在AD上

Answer 2

1) 对称轴是x=1,一个根是3，则另一个根就是-1，抛物线解析式可以写成y=a(x+1)(x-3)
再代入（1，4）这个点，可以知道a=-1，代入a=-1,就可以得到抛物线解析式是y=-x^2+2x+3
2)设E（x,y），则由正方形|FE|=|EB|我们可以知道x+1=y，把这个式子和y=-x^2+2x+3联立
，解得x=2或x=-1（舍去），y=x+1=3,所以正方形边长就是3
3）上班时候研究一下，晚上给你答案

追问

别啊 哥我要考试了啊我就第三题不会

追答

我第二问写错了，第二问|FE|=|EB|可以知道y=2(x-1)，

和y=-x^2+2x+3联立，可以知道x=√5，（舍去x=-√5）,y=2(√5-1)

  3)第三问∠BDM=∠DMN（内错角相等），

       如果再有一个角相等，它们俩就相似，

       根据已知条件，我们知道D（0，3）那么我们很容易知道∠DBM=45°，

       我们只需要让∠NDM=45°，就可以满足相似条件，

       DA直线，斜率是3，将它逆时针旋转45度，就可以得到DM的斜率，

       k DM=（3+tan45°）/(3-tan45°)=-2,

       DM过D（0，3），所以很容易就可以求出DM方程y=-2x+3

       令y=0，可以求出M坐标（3/2,0）,

       所以T横坐标是3/2,带入抛物线可以知道T坐标就是（3/2,15/4）

Answer 3

1、对称轴，x=1,与B点距离为3-1=2，
∴A点横坐标为1-2=-1，
y=a(x+1)(x-3),
x=1,y=4代入，
4=-4a,
∴a=-1,
∴抛物线的解析式为：y=-x^2+2x+3.
2、设E（x0,y0),
EF=2(x0-1),
∴y0=2(x0-1),
2(x0-1)=-x0^2+2x0+3,
x0^2=5,
x0=√5，（舍去负值），
∴正方形边长为：(x0-1)*2=2(√5-1）。
3、当x=0时，y=3,
∴D（0，3），
OD=OB=3，
∴△OBD是等腰RT△，
∴<DBO=45°，
∵MN//BD，
∴<DMN=<BDM,(内错角相等），
要使△DNM∽△BMD，则<NDM=45°，
设M（x1,0),
AM=x1+1,
AD=√（1+9）=√10，
DM=√（9+x1^2),
根据余弦定理，
AM^2=AD^2+DM^2-2AD*DM*cos45°，
(x1+1)^2=10+9+x1^2-2√10*√（9+x1^2)*√2/2，
2x1^2+9x1-18=0,
(2x1-3)(x1+6)=0,
∴x1=3/2, 或x1=-6,(不合题意，舍去）
∴x1=3/2,
y1=-(3/2)^2+2(3/2)+3=15/4,
T（3/2，15/4）
∴该点存在，T（3/2，15/4）。

Answer 4

若△DNM∽△BMD，则∠ADM=∠ADB，所以△ADM∽△ABD，则AM:AD=AD:AB
设M（x，0），判断AM:AD=AD:AB是否成立即可，自己算吧很简单