Question

计算二重积分

计算二重积分
xysin(x+y)

积分区域x=0 y=0 x+y=π/2

需要过程,谢谢!!

Answer 1

[-x*cos(x+y)]' = x*sin(x+y) - cos(x+y)
x*sin(x+y) = cos(x+y) - [x*cos(x+y)]'
以上是对 x 求导 的结果。把y暂看作常数。

二重积分，可以先把y看作常数，对x进行积分。然后再对y积分。

∫∫xysin(x+y) dxdy
= ∫y [∫xsin(x+y) dx] dy
= ∫y {∫cos(x+y) - [x*cos(x+y)]' dx } dy
= ∫y [∫cos(x+y) dx] dy - ∫y ∫[x*cos(x+y)]' dx dy
= ∫y sin(x+y) dy - ∫xycos(x+y) dy

对于其中第一项，仍然采用分部积分法

∫y sin(x+y) dy
= ∫ {cos(x+y) - [y*cos(x+y)]' } dy
= sin(x+y) - y*cos(x+y)

对于第二项
∫xycos(x+y) dy
= x∫ycos(x+y) dy
= x ∫ {[ysin(x+y)]' - sin(x+y) } dy
= xysin(x+y) + xcos(x+y)

因此 原二重积分结果为
sin(x+y) - y*cos(x+y) - xysin(x+y) - xcos(x+y)
= (1 -xy)sin(x+y) - (x+y) cos(x+y)
（经对x和y求导检验后，上述结果正确）

以下限代入
= (1 - 0)*sin0 - (0+0)cos0
= 0

以上限 x+y=π/2 代入
= 1 - xy
= 1 - x(π/2 - x)
= 1 - πx/2 + x^2

其中 x ∈[0，π/2]

上限 为 x+y = π/2。但 x 和y 本身并非定值。这导致了积分结果依然是一个函数。

Answer 2

二重积分的计算方法

Answer 3